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黃河《相對論(下)》2016/2/19

  過去這七天,你曾經思考過宇宙、時間、空間,以及速度的關係嗎?
  有沒想出什麼結果?
  縱然你腦袋一片空白,不必慚愧,因為當年只有愛因斯坦思考出了一點名堂。
  那就是狹義相對論。
  愛因斯坦是如何思考的呢?
  
  首先,宇宙萬物無時無刻不在運動。而且,很多時候不同的物體還在不同的「座標」運動。
  什麼是座標?
  座標是物體所處的「基底」。
  好比說我站在月台,你坐著火車以時速10公里駛離月台,我們兩人就處於不同的座標。
  處於不同座標的觀測者看同一物體會得到不同的結果。
  例如張三這時以時速15公里拔腿狂奔,想要追上離站的火車。
  對於站在月台上不動的我,張三的時速是15公里。
  對於坐在火車上的你,張三的時速是15 -10 = 5,也就是以時速5公里向你接近。
  相對論研究的就是類似的問題──處於兩個座標(不同「速度」),其「時間」與「空間」的「比較」──仔細讀這句話,它包含兩個重點:
相對論牽涉到三個因子──速度、時間、空間。
  「相對」兩字表示不同座標的「對比」。
  相對論的觀念一點都不複雜,所涉及的數學也僅止於高中生,只要不太排斥數學公式,接下來的演繹過程可說是易如反掌。

  首先請參考圖一:卡車車廂的上方裝置一面鏡子,光線由下往上投射。


圖一。


  如果觀察者站在車廂裡,光線投射之後再反射回底端所需的時間是多少?
  假設車廂上、下兩端的距離為h,光線行走的總長(一去一回)就是2h,光速為C,因而所需時間T為:



  不管卡車在高速行駛或靜止不動,由於觀察者在車廂裡,兩者(光源與觀察者)處於同一個座標,因而答案都是T = 2h / C。
  假如卡車以速率v行駛,觀察者站在陸地,他同樣注視光線投射之後再反射回底端的狀況便如圖二。


圖二。

  請問在這種狀況下,光線反射回底端所需的時間?
  與這問題有關的幾何圖形如圖三:


圖三。

  假設光線反彈所需的時間(從A點到D點,再從D點到B點)為t,卡車移動的速度為v;光線投射之初,到反彈至底端,卡車行走的距離(A點至B點)就是:t 乘以 v。
  再假設A點至D點的長度為L,圖三就可以標示成圖四。


圖四。

  把圖四左邊的「直角三角形」分割出來便會得到圖五。


圖五。

  記得「直角三角形」的畢式定理嗎?



  圖五代入畢式定理可得到:



  L是光速C在t時間行走距離的一半,因而L = Ct/2,公式轉化成:



  截至目前為止都是將變數「套入」公式,接下來在求解公式中的t值──全是枯燥的數學演算,你可以直接跳到後面看結果,或一步一步往下看:



  現在請回頭看先前在車廂內觀測的結果:



  拿T和t相比,兩者只差t後面的根號式。若將此根號式命名為ρ,也就是:



  如此便可簡化T與t之間的關係,並得到t =Tρ。
  t 是站在陸地上,觀察不同座標所需的時間。
  T是站在車廂內,觀察相同座標所需的時間。
  請注意ρ可能的數值。
  如果卡車靜止不動(v = 0 ),ρ等於1,所以t = T。
  如果卡車加速(v 大於 0),根號內「v2 / C2」便會出現某數值(例如k),又因v永遠小於C,所以k永遠小於1,「1 – k」便也永遠小於1。
  「小於1」開根號還是小於1。
  「小於1」的數值擺在分母,倒過來便會「大於1」,因而ρ永遠「大於1」。
  請再回頭看公式:t =Tρ。
  由於ρ永遠「大於1」,所以t永遠大於T──這就是相對論的第一個重要結論:運動中的座標系時間(t)流逝得比較慢,此又稱「時間遲滯」 (time dilation)。
  時間遲滯在現實生活中代表什麼?
  假設李四搭乘太空船,以幾近0.87C的速度離開地球,這時ρ = 2,因而t = 2T,也就是時間將會遲滯(或膨脹)2倍。
  膨脹2倍會產生什麼結果?
  如果李四有一個雙胞胎弟弟李五,太空船出發時兩人都30歲。等李五在地球過了20年,年紀50歲時太空船返回地球,因時間膨脹2倍,太空人李四的生理狀態只有40歲。
  太空船的速度越接近光速,時間遲滯的現象就越明顯。
  如果太空船的速度等於光速,ρ趨近「無窮大」,李四的生命將永遠停留在「太空船抵達光速」的那一刻!
  也就是太空人李四的生命是永恆的,他永遠不會老!
  不單生理現象,物理現象也如此。
  好比說太空船攜帶食物的保鮮期也將隨著ρ的改變而延長。
  除了時間遲滯,相對論的第二個結論是「長度收縮」 (length contraction):運動中座標系的「物體長度」會變得比較短。
  長度收縮的證明過程和時間遲滯類似,只是把解算的變數從t改成h,有興趣的讀友可以自己試一試。
  坦白告訴你,我沒試,反正不會錯,記住結論就行了。

  講到這,狹義相對論的介紹就結束了。
  看懂了嗎?
  能夠真心誠意接受嗎?
  假如能夠,我奉勸你重回大學讀物理,因為你實在具有物理天分!
  為什麼?
  看到相對論的「時間遲滯」,我心裡只有三個字:可能嗎?
  好比說食物保鮮期。
  倘若太空船出發時雙胞胎兄弟各帶一瓶鮮奶,並各自放入冰箱(李四放入太空船的冰箱,李五放入家中的冰箱)。再假設兩瓶鮮奶的品質相同,冰箱裡的環境也一模一樣,等地球的鮮奶開始腐敗,太空船上的鮮奶還可能新鮮嗎?
  別忘了公式t = Tρ是針對地球的觀測者,他和太空船存在相對速度。
  對於太空船,所有物體相互之間毫無「相對速度」──冰箱是冰箱、鮮奶是鮮奶,冰箱裡的環境也和地球相同,保鮮期能夠延長的道理在哪裡呢?
  不管太空船以什麼速度飛行,別忘了宇宙鐘永遠在忠實地、公平地計數。
  雖然有此懷疑,很不幸,我看了幾段Youtube教學影片,那些物理名師都這麼說──太空人的壽命會增加,食物保鮮期會延長!
  我能懷疑名師的教學?
  對不起,即使愛因斯坦從墳墓裡面跳出來,大喊「真如此呀」,我還是懷疑。



  可是,接著我想到另一個公式,讓我對剛才的懷疑又起了疑心。
  什麼公式?
  同樣是愛因斯坦提出的理論,著名的「質能等價」:E = mC2
  別把這公式想得太複雜,它很簡單。
  E是能量,m是質量,C是光速。
  先前介紹過C = 299,792,458 米/秒──好大的數值啊!
  「好大的數值」乘以「好大的數值」(C2),那將會是什麼樣的天文數字!
  如果把「天文數字」取代C2,質能等價公式便是:
  E = m乘(天文數字)──請仔細想想這公式的含意。
  損失少許質量(m),可換得極其巨大的能量(E)。
  什麼是損失少許質量?
  不是切下來,不是轉化,而是讓它從這個世界「消失」!
  當初愛因斯坦提出E = mC2,可能很多人都抱懷疑的態度。
  因為其一,照此公式計算,損失1克物質便可產生89,875,517,873,681焦耳能量──我的天啊,1克多輕,可能產生那麼大的能量嗎?
  第二,如何讓物質從這個世界「消失」?
  理論歸理論,愛因斯坦卻無法從現實世界「證實」質能等價的正確性。
  的的確確,物理公式是生硬的、冷漠的、枯燥的,而且往往超現實。科學家演算過來、演算過去,歸納出某個結果,然而現實世界可能永遠無法證實它的正確性。
  例如製造一艘「趨近光速」的太空船,人類可能做到嗎?
  別說趨近光速,縱然只有光速的十分之一,時速也超過10億公里──想想這速度,那是何等的飛快!
  即便如此,猜猜看ρ等於多少?
  有興趣的讀友不妨自己拿筆算一算(v = 0.1C)。



  ρ僅僅等於1.005──這代表什麼意思呢?
  即使太空船的飛行時速高達10億公里,它所能獲得的時間遲滯也只有千分之五──如果李四兄弟都長生不老,一千年以後太空船返回地球,太空人李四僅比李五年輕5歲!
  想想這微小的差異、那不可能達到的飛行速度,誰可能使用什麼方法證明時間遲滯?
  雖然無法「實證」,然而公式就是存在那兒!
  就如同E = mC2,當年也同樣受到質疑。
  直到科學家發現濃縮鈾,成功找到「消滅物質」的方法,這才證實E = mC2的正確性,並從而製造出原子彈。
  「時間遲滯」與「長度收縮」會不會是相同的狀況?

  最後再補充說明一點。
  前述討論的都是狹義相對論。
  愛因斯坦接著在 1916 年提出廣義相對論 (General Relativity),那是一套把「重力」與「加速度」都包含在內的時空理論,能夠更精準地描述我們身處的宇宙。
  有興趣研究廣義相對論嗎?
  如果有興趣,請自行上網查資料,因為我沒興趣。


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